Question

13．如图，⊙O是△ABC的外接圆．AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC于点E，连接OD交BC于点F，连接BD，DC．下列五个结论中，正确的有（　　）
①∠BFO=90°；
②$\widehat{BD}$=$\widehat{DC}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{BDC}$；
③BF=FC=$\frac{1}{2}$BC；
④BE=EC=$\frac{1}{2}$BC；
⑤∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC．

• A． 5个
• B． 4个
• C． 3个
• D． 2个

Answer 1

分析 根据垂径定理求出OD⊥BC，得出①正确；由圆周角定理得出$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，②正确；由等腰三角形的性质得出③正确，④错误；由角平分线得出⑤正确；即可得出结论．

解答 解：①∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∵OD为半径，
∴DO⊥BC，
∴∠BFO=90°，
故①正确；
②∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{DC}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{BDC}$，
故②正确；
③连接OB、OC，如图所示：
由①知DO⊥BC，
∵OB=OC，
∴BF=FC=$\frac{1}{2}$BC，
故③正确；
④∵BF=FC=$\frac{1}{2}$BC
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC错误，
故④不正确；
⑤∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
故⑤正确；
综上所述：正确的有①②③⑤；
故答案为：B．

点评 本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解决问题的关键．