Question

已知：如图，⊙P与⊙O相交于点A、B，且⊙P经过点O，点C是⊙P的优弧AB上任意一点（不与点A、B重合），弦OC交公共弦AB于点D，连接CA、CB．
（1）求证：CD•CO=CA•CB；
（2）当点C在⊙P上何位置时，直线CA与⊙O相切？并说明理由；
（3）当∠ACB等于60°时，两圆半径有什么关系？并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先证明△ACO∽△DCB，根据相似三角形的性质可得=，进而得到CD•CO=CA•CB；
（2）连接OP，并延长与⊙P交于点E．若点C在点E位置时，直线CA与⊙O相切，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠OAE=90°，进而得到OA⊥EA，即EA与⊙O相切；
（3）当∠ACB=60°时，两圆半径相等，作直径OE，连接BE，AE，OA，然后证明∠AEO=30°，再根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OA=OE，进而得到OP=OA．
解答：（1）证明：在⊙O中，∵AO=BO，
∴=，
∴∠ACO=∠DCB，
又∵∠1=∠2，
∴△ACO∽△DCB，
∴=，
∴CD•CO=CA•CB；

（2）解：连接OP，并延长与⊙P交于点E．
若点C在点E位置时，直线CA与⊙O相切，
理由：连接AE，
∵EO是⊙P的直径，
∴∠EAO=90°，
∴OA⊥EA，
∴EA与⊙O相切，
即点C在点E位置时，直线CA与⊙O相切．

（3）当∠ACB=60°时，两圆半径相等．理由：
解：作直径OE，连接BE，AE，OA，
∵∠AEB=∠ACB=60°，PO垂直平分AB，
∴=，
∴∠AEO=∠BEO，
∴∠AEO=30°，
∵OE是直径，
∴∠EAO=90°，
∴OA=OE，
∴OA=PO，
∴当∠ACB=60°时，两圆半径相等．
点评：本题主要考查了圆的综合，关键是掌握等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角等于90°；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识．具有一定的综合性．