Question

5．如图，已知△ABC中，AC=BC=6，∠C=90°，O是AB的中点，⊙O与AC、BC分别相切于点D与点E，点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G．
（1）求证：点E是BC的中点；
（2）求证：BF=BG；
（3）求CG的长．

Answer 1

分析 （1）连结OE，如图，根据切线的性质得∠OEB=90°，而∠C=90°，则OE∥AC，加上O是AB的中点，于是可判断OE为△ABC的中位线，所以点E是BC的中点；
（2）连结OD，如图，与（1）一样可得OD∥BC，则∠ODG=∠G，加上∠ODF=∠OFD，∠OFD=∠BFG，所以∠BFG=∠G，根据等腰三角形的判定定理可得BF=BG；
（3）由点E是BC的中点得到BE=$\frac{1}{2}$BC=3，利用∠ABC=45°得到OE=BE=3，OB=$\sqrt{2}$OE=3$\sqrt{2}$，则可计算出BF=OB-OF=3$\sqrt{2}$-3，然后利用（2）的结论即可得到BG的长，再计算BC与BG的和即可．

解答 （1）证明：连结OE，如图，
∵BC为⊙O的切线，
∴OE⊥BC，
∴∠OEB=90°，
∵∠C=90°，
∴OE∥AC，
而O是AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴点E是BC的中点；
（2）证明：连结OD，如图，
∵AC为⊙O的切线，
∴OE⊥BC，
∴∠OEB=90°，
∴OD∥BC，
∴∠ODG=∠G，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
而∠OFD=∠BFG，
∴∠BFG=∠G，
∴BF=BG；
（3）解：∵点E是BC的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵AC=BC=6，∠C=90°，
∴∠ABC=45°，
∴OE=BE=3，
∴OB=$\sqrt{2}$OE=3$\sqrt{2}$，
∴BF=OB-OF=3$\sqrt{2}$-3，
∴BG=3$\sqrt{2}$-3，
∴CG=BC+BG=6+3$\sqrt{2}$-3=3+3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．