题目内容

如图，一次函数y=ax+b的图象与y轴、x轴分别交于点A（0， $数学公式$ ）、B（3，0），与反比例函数y= $数学公式$ 的图象在第一象限交于C、D两点．
（1）求该一次函数的解析式．
（2）若AC•AD= $数学公式$ ，求k的值．

解：（1）∵一此函数y=ax+b的图象经过点A（0， $\text{[math]}$ ），（3，0），
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴一次函数的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ；

（2）分别过点C、D作CE⊥y轴于E，DF⊥y轴于F，
在Rt△AOB中，
∵AO= $\text{[math]}$ ，BO=3，
∴∠ABO=30°，
∵直线AB与双曲线y= $\text{[math]}$ 相交于点C、D，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∵ $\text{[math]}$ ，得x²-3x+ $\text{[math]}$ k=0，
∴x₁•x₂= $\text{[math]}$ k，
在Rt△ACE中，
∵∠ACE=∠ABO=30°，CE=x₁，
∴AC= $\text{[math]}$ •2= $\text{[math]}$ x₁，
同理，在Rt△ADF中，AD= $\text{[math]}$ •2= $\text{[math]}$ x₂，
∵AC•AD= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ x₁• $\text{[math]}$ x₂= $\text{[math]}$ ，即x₁•x₂= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ k= $\text{[math]}$ ，
∴k= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）把点A（0， $\text{[math]}$ ）、B（3，0）代入一次函数y=ax+b求出ab的值即可得出此函数的解析式；
（2）分别过点C、D作CE⊥y轴于E，DF⊥y轴于F，再由AB两点的坐标判断出∠ABO的度数，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），联立一次函数与反比例函数的解析式可得出x₁•x₂= $\text{[math]}$ k，在Rt△ACE与Rt△ADF中可分别用x₁，x₂表示出AC及AD的长，再由AC•AD= $\text{[math]}$ 即可求出k的值．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．