题目内容

阅读探究题：如图1，四边形ABCD是正方形（正方形的四边相等，四个角都是直角），点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，

（1）求出角∠ECF的度数？
（2）求证：AE=EF．
（3）如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为这样的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°=∠DCG，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF= $\text{[math]}$ ∠DCG=45°，
∴∠FCE=90°+45°=135°；
（2）证明：取AB中点M，连接EM，

∵AB=BC，E为BC中点，M为AB中点，
∴AM=CE=BE，
∴∠BME=∠BME=45°，
∴∠AME=135°=∠ECF，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△AME和△ECF中
$\text{[math]}$ ，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（3）解：正确，
理由是：在AB上截取BM=BE，连接ME，
∵∠B=90°，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°=∠ECF，
∵AB=BC，BM=BE，
∴AM=EC，
在△AME和△ECF中
$\text{[math]}$ ，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．
分析：（1）求出∠BCD=90°，∠DCF=45°，即可求出答案；
（2）取AB中点M，连接EM，求出BM=BE，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；
（3）截取BE=BM，连接EM，求出AM=EC，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是推出△AME≌△ECF．