题目内容

阅读探究题：如图1，四边形ABCD是正方形（正方形的四边相等，四个角都是直角），点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，

（1）求出角∠ECF的度数？
（2）求证：AE=EF．
（3）如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为这样的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°=∠DCG，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF=

∠DCG=45°，
∴∠FCE=90°+45°=135°；
（2）证明：取AB中点M，连接EM，

∵AB=BC，E为BC中点，M为AB中点，
∴AM=CE=BE，
∴∠BME=∠BME=45°，
∴∠AME=135°=∠ECF，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△AME和△ECF中

∠MAE=∠CEF

AM=EC

∠AME=∠ECF

，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（3）正确，
理由是：在AB上截取BM=BE，连接ME，
∵∠B=90°，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°=∠ECF，
∵AB=BC，BM=BE，
∴AM=EC，
在△AME和△ECF中

∠MAE=∠CEF

AM=EC

∠AME=∠ECF

，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．

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阅读探究题：如图1，四边形ABCD是正方形（正方形的四边相等，四个角都是直角），点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，

（1）求出角∠ECF的度数？
（2）求证：AE=EF．
（3）如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为这样的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

阅读探究题：
数学课上，张老师向大家介绍了等腰三角形的基本知识：有两条边相等的三角形叫等腰三角形，如图1所示：在△ABC中，若AB=AC，则△ABC为等腰三角形且有∠B=∠C．此时，张老师出示了问题：如图2，四边形ABCD是正方形（正方形的四边相等，四个角都是直角），点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：在线段AB上取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，在此基础上，请聪明的同学们作进一步的研究：
（1）求出角∠AME的度数；
（2）你能在小明的思路下证明结论吗？
（3）小颖提出：如图3，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；