Question

20．如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，∠D+2∠B=180°，AD=5，AB=2，CD=3，则AC=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 延长BA，CD交于E，作∠ADE的平分线DF交AE于F，过A作AH⊥CD于H，于是得到∠ADE+∠ADC=180°，∠ADE=2∠ADF=2∠EDF，根据已知条件得到∠B=∠EDF，推出∠EFD=90°，根据等腰三角形的性质得到DE=AD=5，根据相似三角形的性质得到EF=4（负值舍去），根据勾股定理得到BC=$\sqrt{B{E}^{2}-C{E}^{2}}$=6，根据相似三角形的性质的AH=$\frac{24}{5}$，EH=$\frac{32}{5}$，由勾股定理即刻得到结论．

解答 解：延长BA，CD交于E，作∠ADE的平分线DF交AE于F，过A作AH⊥CD于H，
则∠ADE+∠ADC=180°，∠ADE=2∠ADF=2∠EDF，
∵∠ADC+2∠B=180°，
∴∠B=∠EDF，
∵∠BCD=90°，
∴∠B+∠E=90°，
∴∠FDE+∠E=90°，
∴∠EFD=90°，
∴DF⊥AE，
∴DE=AD=5，
∵∠E=∠E，
∴△DEF∽△AEC，
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{EF}{CE}$，即$\frac{5}{2+2EF}$=$\frac{EF}{8}$，
∴EF=4（负值舍去），
∴BE=10，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}-C{E}^{2}}$=6，
∵AH∥BC，
∴△AEH∽△BEC，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{EH}{CE}$=$\frac{AH}{BC}$，
∴AH=$\frac{24}{5}$，EH=$\frac{32}{5}$，
∴CH=$\frac{8}{5}$，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$，
故答案为：$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．