Question

【题目】如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，连接，过点作，垂足为点，交的延长线于点．

(1)求证：是的切线；

(2)如果的径为5，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD，AB为⊙O的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论．
（2）由∠DAC=∠DAB，根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可计算出AD=8，在Rt△ADE中可计算出AE的长．

解：（1）证明：连结OD，如图，
∵AB为⊙0的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，即DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴EF是⊙O的切线；

（2）∵△ABC是等腰三角形，

∴∠CAD=∠BAD，

∵∠AED=∠ADB=90°，

∴∠CAD+∠ADE=∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ADE=∠ABD，

在Rt△ABD中，sin∠ABD=sin∠ADE=，

AB=2AO=10，

∴AD=8，

在Rt△ADE中，sin∠ADE=，

∴AE=.