题目内容
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），O为坐标原点．设P点在第一象限，以P为圆心，半径为1的⊙P与y轴及矩形OABC的边BC都相切．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过O、P、A三点．（1）求抛物线的解析式；
（2）若⊙P与矩形OABC组合得到的图形的面积能被一条直线l平分，求这条直线l的解析式；
（3）若点N在抛物线上，问x轴上是否存在点M，使得以M为圆心的⊙M能与△PAN的三边PA、PN、AN所在直线都相切？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）将三点坐标代入所设的解析式方程可得abc的值，进而可得解析式；
（2）连接AC、OB相交于Q，易得Q是矩形OABC的对称中心，进而设其方程为y=kx+b，代入PQ的坐标可得答案；
（3）假设存在并设出其坐标，①⊙M与△PAN的三边PA、PN、AN相切，②⊙M与△PAN的边AP、AN的延长线相切，两种情况讨论，根据相切的性质，分析可得答案．
解答：解：（1）∵O（0，0），P（1，3），A（4，0），
在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，
∴
，
即
，
所以抛物线的解析式为：y=-x2+4x．（2分）
（2）连接AC、OB相交于Q，则Q是矩形OABC的对称中心，
∵P是⊙P的对称中心，
∴PQ平分⊙P与矩形OABC组合得到的图形的面积
设PQ的解析式为y=kx+b，∵P（1，3）、Q（2，1）（4分）
∴
，
∴
，
所以PQ解析式为y=-2x+5．（5分）
（3）假设x轴上存在点M，使得⊙M与△PAN的三边PA、PN、AN所在的直线都相切，
则有如下两种情形：
①当⊙M与△PAN的三边PA、PN、AN相切时，则M是△PAN的内心．
∵M在x轴上，
∴x轴为∠PAN的平分线，
∴P（1，3）关于x轴的对称点G（1，-3）在AN上，
所以AN的解析式为：y=x-4，
由
得到N（-1，-5）（7分）
作PR⊥ox轴于R，∵PR=3=AR，
∴∠PAO=45°，
在等腰直角△ARP中，PR=3=AR，
∴
作NH⊥ox轴于H，因为AN的解析式为：y=x-4，
所以∠NAH=45°，
∵在等腰直角△AHN中，AH=5，NH=3，
∴
，在Rt△NAP中，
∴Rt△NAP的内切圆⊙M的半径
，
∴
，
∴
，0）．（9分）
②当⊙M与△PAN的边AP、AN的延长线相切于J、S，且与AN边相切于R时，则M是△PAN的旁心．
由①Rt△NAP的三边长度分别为：
，
，
∴NS=NR，PR=PJ，
∴旁切圆的半径
，
∴
，
，0）．
综上所述：x轴上存在点M，
使得⊙M与△PAN的三边PA、PN、AN所在的直线都相切
，0）、
，0）．（12分）
点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．
（2）连接AC、OB相交于Q，易得Q是矩形OABC的对称中心，进而设其方程为y=kx+b，代入PQ的坐标可得答案；
（3）假设存在并设出其坐标，①⊙M与△PAN的三边PA、PN、AN相切，②⊙M与△PAN的边AP、AN的延长线相切，两种情况讨论，根据相切的性质，分析可得答案．
解答：解：（1）∵O（0，0），P（1，3），A（4，0），
在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，
∴
，即
，所以抛物线的解析式为：y=-x2+4x．（2分）
（2）连接AC、OB相交于Q，则Q是矩形OABC的对称中心，
∵P是⊙P的对称中心，
∴PQ平分⊙P与矩形OABC组合得到的图形的面积
设PQ的解析式为y=kx+b，∵P（1，3）、Q（2，1）（4分）
∴
，∴
，所以PQ解析式为y=-2x+5．（5分）
（3）假设x轴上存在点M，使得⊙M与△PAN的三边PA、PN、AN所在的直线都相切，
则有如下两种情形：
①当⊙M与△PAN的三边PA、PN、AN相切时，则M是△PAN的内心．
∵M在x轴上，
∴x轴为∠PAN的平分线，
∴P（1，3）关于x轴的对称点G（1，-3）在AN上，
所以AN的解析式为：y=x-4，
由
得到N（-1，-5）（7分）作PR⊥ox轴于R，∵PR=3=AR，
∴∠PAO=45°，
在等腰直角△ARP中，PR=3=AR，
∴
作NH⊥ox轴于H，因为AN的解析式为：y=x-4，
所以∠NAH=45°，
∵在等腰直角△AHN中，AH=5，NH=3，
∴
，在Rt△NAP中，
∴Rt△NAP的内切圆⊙M的半径
，∴
，∴
，0）．（9分）②当⊙M与△PAN的边AP、AN的延长线相切于J、S，且与AN边相切于R时，则M是△PAN的旁心．
由①Rt△NAP的三边长度分别为：
，
，
∴NS=NR，PR=PJ，
∴旁切圆的半径
，∴
，
，0）．综上所述：x轴上存在点M，
使得⊙M与△PAN的三边PA、PN、AN所在的直线都相切
，0）、
，0）．（12分）点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．
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