Question

【题目】如图，已知直线y＝﹣2x+6与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的第三象限图象上是否存在一点P，使△POB≌△POC？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在. P（）．

【解析】

（1）根据待定系数法求解析式即可

（2）先确定出点C坐标，然后根据△POB≌△POC建立方程，求解即可

解：（1）由y＝﹣2x+6＝0，得x＝3

∴B（3，0）．

∵A（1，4）为顶点，

∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2+4，解得a＝﹣1．

∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；

（2）存在．

当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，

∴C（0，3）．

∵OB＝OC＝3，OP＝OP，

∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC．

作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，则∠POM＝∠PON＝45°．

∴PM＝PN．

设P（m，m），则m＝﹣m2+2m+3，解得m＝．

∵点P在第三象限，

∴P（，）．