题目内容
如图，已知△ABC是边长为5的等边三角形，△ACD△ABC以直线AC为对称轴翻折得到的．在射线BC上有动点P，作∠PAQ=60°，AQ交射线CD于点Q．
（1）转动∠PAQ，当点PQ落在线段BC、CD上时，请说明△APQ是等边三角形；
（2）转动∠PAQ，当点PQ落在线段BC、CD的延长线上时，△APQ是否仍是等边三角形？请说明理由；
（3）当PD⊥AQ时，求出BP的长度．（不必写计算理由）．
（1）转动∠PAQ，当点PQ落在线段BC、CD上时，请说明△APQ是等边三角形；
（2）转动∠PAQ，当点PQ落在线段BC、CD的延长线上时，△APQ是否仍是等边三角形？请说明理由；
（3）当PD⊥AQ时，求出BP的长度．（不必写计算理由）．
考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,翻折变换（折叠问题）
专题：
分析：（1）根据等边三角形的性质求出AB=AC，∠B=∠ACD=60°，再求出∠BAP=∠CAQ，然后利用“角边角”证明△ABP和△ACQ全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=AQ，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可；
（2）根据等边三角形的性质求出AC=AD，∠ACP=∠ADQ=120°，再求出∠CAP=∠DAQ，然后利用“角边角”证明△ACP和△ADQ全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=AQ，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可；
（3）由于△ABC与△ACD都是等边三角形，所以四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC，当PD⊥AQ时，则D点为等边三角形APQ的外心，则四边形ACPD是菱形，因此BP=2AB=10或BP=0．
（2）根据等边三角形的性质求出AC=AD，∠ACP=∠ADQ=120°，再求出∠CAP=∠DAQ，然后利用“角边角”证明△ACP和△ADQ全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=AQ，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可；
（3）由于△ABC与△ACD都是等边三角形，所以四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC，当PD⊥AQ时，则D点为等边三角形APQ的外心，则四边形ACPD是菱形，因此BP=2AB=10或BP=0．
解答：（1）证明：∵△ABC与△ACD都是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACD=60°，
∴∠BAP+∠CAP=60°，
又∵∠CAQ+∠CAP=60°，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（ASA），
∴AP=AQ，
又∵∠PAQ=60°，
∴△PAQ是等边三角形；
（2）如图2，△APQ仍是等边三角形；
证明：∵△ABC与△ACD都是等边三角形，
∴AC=AD，∠ACP=∠ADQ=120°，
∴∠CAP+∠DAP=60°，
又∵∠DAQ+∠DAP=60°，
∴∠CAP=∠DAQ，
在△ACP与△ADQ中，
，
∴△ACP≌△ADQ（ASA）
∴AP=AQ，
又∵∠PAQ=60°，
∴△PAQ是等边三角形；
（3）解：如图3，BP=10或BP=0．
∴AB=AC，∠B=∠ACD=60°，
∴∠BAP+∠CAP=60°，
又∵∠CAQ+∠CAP=60°，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△ABP和△ACQ中，
|
∴△ABP≌△ACQ（ASA），
∴AP=AQ，
又∵∠PAQ=60°，
∴△PAQ是等边三角形；
（2）如图2，△APQ仍是等边三角形；证明：∵△ABC与△ACD都是等边三角形，
∴AC=AD，∠ACP=∠ADQ=120°，
∴∠CAP+∠DAP=60°，
又∵∠DAQ+∠DAP=60°，
∴∠CAP=∠DAQ，
在△ACP与△ADQ中，
|
∴△ACP≌△ADQ（ASA）
∴AP=AQ，
又∵∠PAQ=60°，
∴△PAQ是等边三角形；
（3）解：如图3，BP=10或BP=0．
点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定，有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形
练习册系列答案
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