题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为（4，t）（t＞0），二次函数
（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D．
（1）当t=12时，顶点D到x轴的距离等于 ；
（2）点E是二次函数
（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合），求OEEA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；
（3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数
（b＜0）的图象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t的值．
【答案】（1）
；（2）OEAE的最大值为4，抛物线的表达式为
；（3）
．
【解析】试题分析：（1）当t=12时，B（4，12），将点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b的值，于是可得到抛物线的解析式，最后利用配方法可求得点D的坐标，从而可求得点D到x轴的距离；
（2）令y=0得到x2+bx=0，从而可求得方程的解为x=0或x=﹣b，然后列出OEAE关于b的函数关系式，利用配方法可求得b的OEAE的最大值，以及此时b的值，于是可得到抛物线的解析式；
（3）过D作DG⊥MN，垂足为G，过点F作FH⊥CO，垂足为H．依据全等三角形的性质可得到MN=CO=t，DG=FH=2，然后由点D的坐标可得到点N的坐标，最后将点N的坐标代入抛物线的解析式可求得t的值．
试题解析：解：（1）当t=12时，B（4，12）．
将点B的坐标代入抛物线的解析式得：16+4b=12，解得：b=﹣1，∴抛物线的解析式
，∴
，∴D（
， 
），∴顶点D与x轴的距离为
．故答案为： 
．
（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x2+bx=0，解得x=0或x=﹣b，∵OA=4，∴AE=4﹣（﹣b）=4+b，∴OEAE=﹣b（4+b）=﹣b2﹣4b=﹣（b+2）2+4，∴OEAE的最大值为4，此时b的值为﹣2，∴抛物线的表达式为
．
（3）过D作DG⊥MN，垂足为G，过点F作FH⊥CO，垂足为H．
∵△DMN≌△FOC，∴MN=CO=t，DG=FH=2．∵D（﹣
，﹣
），∴N（﹣
，﹣
+2），即（
， 
）．把点N和坐标代入抛物线的解析式得： 
=（
）2+b（
），解得：t=±
．∵t＞0，∴t=
．
