Question

18．已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A（4，$\frac{1}{2}$），若二次函数y=$\frac{1}{2}$x²-x的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B（2，m），C（n，2）．求平移后的二次函数图象的顶点坐标．

Answer 1

分析 由于反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A（4，$\frac{1}{2}$），由此可以求出反比例函数的解析式，然后把B（2，m），C（n，2）代入其中求出m、n，设二次函数y=$\frac{1}{2}$x²-x的图象平移后的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-k）²+b，又已知过点B（2，1），C（1，2），利用两个解析式组成方程组即可求解．

解答 解：∵点点A（4，$\frac{1}{2}$）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{k}{4}$，
解得k=2，
故反比例函数解析式为y=$\frac{2}{x}$，
又B（2，m），C（n，2）在反比例函数的图象上
∴m=1，n=1，
故点B坐标为（2，1），C（1，2），
设二次函数y=$\frac{1}{2}$x²-x的图象平移后的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-k）²+b，
又已知y=$\frac{1}{2}$（x-k）²+b的图象过点B（2，1），C（1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1=\frac{1}{2}（2-k）^{2}+b}\\{2=\frac{1}{2}（1-k）^{2}+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{2}}\\{b=\frac{7}{8}}\end{array}\right.$
故得二次函数y=$\frac{1}{2}$x²-x的图象平移后所得图象的函数解析式为一次函数y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{7}{8}$，
∴平移后的二次函数图象的顶点坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{8}$）．

点评 此题主要考查了二次函数和反比例函数的交点问题，同时也考查了待定系数法确定函数的解析式，有一定的综合性．