题目内容
如图，已知：在直角坐标系中．点E从O点出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动．B（4，2），以BE为直径作⊙O1．
（1）若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O1的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，连接FB，几秒时FB与⊙O1相切？
（3）若点E提前2秒出发，点F再出发．当点F出发后，点E在A点的左侧时，设BA⊥x轴于点A，连接AF交⊙O1于点P，试问AP•AF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由并求其值；若变化，请求其值的变化范围．
（1）若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O1的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，连接FB，几秒时FB与⊙O1相切？
（3）若点E提前2秒出发，点F再出发．当点F出发后，点E在A点的左侧时，设BA⊥x轴于点A，连接AF交⊙O1于点P，试问AP•AF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由并求其值；若变化，请求其值的变化范围．
（1）连接O1G，
设点E出发t秒，则E（t，0），F（0，2t）；
设直线EF的方程为y=kx+b，则
，
∴解得
，
∴y=-2x+2t，
∴直线OB的方程为y=
x；
∵解方程组
，
得
，
∴G（
t，
t）；
∵O1是BE的中点，
∴O1（
，1），
∴O1G2=（
-
t）2+（1-
t）2=
t2-2t+5，O1B2=（4-
）2+12=
t2-2t+5，
∴O1G=O1B，点G在⊙O1上．
（2）设t秒时FB与⊙O1相切，那么E（t，0），F（0，2t），∠FBE=90°；
∵EF2=BE2+BF2，EF2=OE2+OF2，
∴（4-t）2+22+42+（2-2t）2=t2+（2t）2，
解得t=2.5．
（3）设点F出发t秒，则E（t+2，0），F（0，2t），
设P（x，y）；
∵tan∠FAO=y：（4-x）=2t：4，
∴x=4-
y，
∴P（4-
y，y）．
∵BE为直径，
∴∠BPE=90°．
∵PE2+BP2=BE2
∴利用两点间的距离公式把B、P、E、F各点的坐标代入得，
∴y=
，
∴x=
，
即P（
，
），
∴AP2=（4-
）2+（
）2，
∴AP=
×
，AF=
=2
．
∴AP•AF=8，是不会发生变化的．
设点E出发t秒，则E（t，0），F（0，2t）；
设直线EF的方程为y=kx+b，则
|
∴解得
|
∴y=-2x+2t，
∴直线OB的方程为y=
| 1 |
| 2 |
∵解方程组
|
得
|
∴G（
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
∵O1是BE的中点，
∴O1（
| 4+t |
| 2 |
∴O1G2=（
| 4+t |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 1 |
| 4 |
| 4+t |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∴O1G=O1B，点G在⊙O1上．
（2）设t秒时FB与⊙O1相切，那么E（t，0），F（0，2t），∠FBE=90°；
∵EF2=BE2+BF2，EF2=OE2+OF2，
∴（4-t）2+22+42+（2-2t）2=t2+（2t）2，
解得t=2.5．
（3）设点F出发t秒，则E（t+2，0），F（0，2t），
设P（x，y）；
∵tan∠FAO=y：（4-x）=2t：4，
∴x=4-
| 2 |
| t |
∴P（4-
| 2 |
| t |
∵BE为直径，
∴∠BPE=90°．
∵PE2+BP2=BE2
∴利用两点间的距离公式把B、P、E、F各点的坐标代入得，
∴y=
| 4t |
| t2+4 |
∴x=
| 4t2+8 |
| t2+4 |
即P（
| 4t2+8 |
| t2+4 |
| 4t |
| t2+4 |
∴AP2=（4-
| 4t2+8 |
| t2+4 |
| 4t |
| t2+4 |
∴AP=
| 4 |
| t2+4 |
| t2+4 |
| 16+4t2 |
| t2+4 |
∴AP•AF=8，是不会发生变化的．
练习册系列答案
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