Question

如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点．过点D作DE⊥AC交AC边于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值．

Answer 1

分析：（1）连接OD，根据三角形的中位线定理可求出OD∥AC，根据切线的性质可证明DE⊥OD，进而得证．
（2）过O作OF⊥BD，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解．

解答：（1）证明：连接OD．
∵O为AB中点，D为BC中点，
∴OD∥AC．
∵DE为⊙O的切线，
∴DE⊥OD．
∴DE⊥AC．

（2）解：过O作OF⊥BD，则BF=FD．
在Rt△BFO中，∠B=30°，
∴OF=

1

2

OB，BF=

3

2

OB．
∵BD=DC，BF=FD，
∴FC=3BF=

3 3

2

OB．
在Rt△OFC中，
tan∠BCO=

FO

FC

=

1 2 OB

3 3 2 BO

=

1

3 3

=

3

9

．

点评：此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性质与判定、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性，根据已知得出OF=

1

2

OB，BF=

3

2

OB，FC=3BF=

3 3

2

OB是解题关键．