Question

（2012•拱墅区一模）如图，以△ABC的各边为边，在BC的同侧分别作三个正五边形．它们分别是正五边形ABFKL、BCJIE、ACHGD，试探究：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（不需证明）
（3）四边形ADEF一定存在吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）首先根据正五边形的性质得出∠3=108°-∠2=∠1，进而得出△FBE≌△ABC得出EF=DA以及EF∥DA即可得出四边形ADEF的形状；
（2）当∠BAC=126°，且AC=

5 +1

2

AB（或AC=2ABcos36°）时，∠FAD=90°，AF=AD，即可得出答案；
（3）当∠BAC=36°时，点D、A、F在同一直线上，即可得出此时四边形不存在．

解答：（1）解：四边形ADEF是平行四边形；
理由：∵正五边形ABFKL、BCJIE，
∴BF=BA，BE=BC，
又∵∠3=108°-∠2=∠1；
在△FBE和△ABC中，

BF=BA ∠1=∠3 BE=BC

∴△FBE≌△ABC（SAS），
∴EF=AC，∠4=∠5，
∵正五边形ACHGD，
∴AC=DA，
∴EF=DA，
又∵∠FAD=360°-∠BAF-∠4-∠CAD=360°-36°-108°-∠4=216°-∠4；
∠EFA=∠5-∠AFB=∠5-36°；
∴∠FAD+∠EFA=216°-∠4+∠5-36°=180°，
∴EF∥DA，
∴四边形ADEF是平行四边形；

（2）当∠BAC=126°，且AC=

5 +1

2

AB（或AC=2ABcos36°）时，四边形ADEF是正方形；
理由：∵∠BAC=126°，∠BAF=36°，∠CAD=108°，
∴∠FAD=90°，
∵AF=2ABcos36°，AC=2ABcos36°，
∴AF=AC，
∴平行四边形ADEF是正方形；

（3）当∠BAC=36°时，点D、A、F在同一直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．
理由：∵∠BAC=36°，∠FAB=36°，∠CDA=108°
∴∠DAF=36°+36°+108°=180°，
∴点D、A、F在同一直线上，
∴以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．

点评：此题主要考查了四边形综合应用以及全等三角形的判定以及平行四边形的判定等知识，根据正五边形的性质得出边、角关系是解题关键．