Question

已知直线y=

4

3

x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边作菱形ABCD，使点C落在第一象限内，点D落在x轴上，点P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，连接BP并延长，交CD于点E，交x轴于点F．
（1）求出点C的坐标；
（2）当PE=2，EF=4，求PB的长；
（3）是否存在某一点F，使得以B、O、F为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出点F的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）令y=0求出点A的坐标，令x=0求出点B的坐标，从而得到OA、OB的长，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等可得BC=AB，再写出点C的坐标即可；
（2）求出△BCP和△FAP相似，△BCE和△FDE相似，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式，消掉DF得到关于PB的方程，求解即可；
（3）分OF和OA是对应边，OF和OB是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OF的长，然后写出点F的坐标即可．

解答：解：（1）令y=0，则

4

3

x+4=0，解得x=-3，
令x=0，则y=4，
∴点A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=5，
∴点C（5，4）；

（2）∵BC∥AF，
∴△BCP∽△FAP，
∴

PB

PF

=

BC

AF

，
即

PB

2+4

=

5

5+DF

①，
∵BC∥AF，
∴△BCE∽△FDE，
∴

BE

FE

=

BC

DF

，
即

PB+2

4

=

5

DF

②，
联立①②解得PB=2

3

；

（3）①OF和OA是对应边时，△FOB∽△AOB，
∴

OF

OA

=

OB

OB

，
即

OF

3

=

4

4

，
解得OF=3，
此时，点F（3，0），
②OF和OB是对应边时，△BOF∽△AOB，
∴

OF

OB

=

OB

OA

，
即

OF

4

=

4

3

，
解得OF=

16

3

，
此时，点F（

16

3

，0），
综上所述，（3，0），（

16

3

，0）．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了菱形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定，相似三角形对应边成比例的性质，（2）关键在于根据两个比例式得到关于PB的方程，（3）难点在于要分情况讨论．