Question

如图，在平面直角坐标系中，A（1，0）、B（5，0）、C（6，3）、D（0，3），点P为线段CD上一点，且∠APB=45°，则点P的坐标为________．

Answer 1

（3+，3）或（3-，3）
分析：首先作等腰直角三角形ABE，使得∠AEB=90°，过点E作MN⊥AB于M，交CD于N，易得点P在以E为圆心，AE长为半径的圆与CD的交点，即PE=AE，然后利用等腰直角三角形的性质与勾股定理，即可求得点P的坐标．
解答：解：作等腰直角三角形ABE，使得∠AEB=90°，过点E作MN⊥AB于M，交CD于N，
∴AM=BM=AB，
∵∠APB=45°=∠AEB，
∴点P在以E为圆心，AE长为半径的圆与CD的交点，
即PE=AE，
∵A（1，0）、B（5，0），
∴AB=4，
∴AE=AB•cos45°=×4=2，
∴PE=2，EM=AE•sin45°=×2=2，
∵C（6，3）、D（0，3），
∴CD∥OB，CD=6，
∴MN⊥CD，
∵OD⊥CD，OD⊥OB，
∴四边形OMND是矩形，
∴DN=OM=OA+AM=1+AB=1+2=3，MN=OD=3，
∴EN=MN-EM=3-2=1，
在Rt△PNE中，PN===，
∴点P的坐标为：（3+，3）或（3-，3）．
故答案为：（3+，3）或（3-，3）．
点评：此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．