Question

【题目】在等边△ABC外侧作直线AM，点C关于AM的对称点为D，连接BD交AM于点E，连接CE，CD，AD.

（1）依题意补全图1，并求∠BEC的度数；

（2）如图2，当∠MAC＝30°时，判断线段BE与DE之间的数量关系，并加以证明；

（3）若0°＜∠MAC＜120°，当线段DE＝2BE时，直接写出∠MAC的度数.

Answer 1

【答案】（1）补全图形如图1所示，见解析，∠BEC＝60°；（2）BE＝2DE，见解析；（3）∠MAC＝90°.

【解析】

（1）根据轴对称作出图形，先判断出∠ABD＝∠ADB＝y，再利用三角形的内角和得出x+y即可得出结论；

（2）同（1）的方法判断出四边形ABCD是菱形，进而得出∠CBD＝30°，进而得出∠BCD＝90°，即可得出结论；

（3）先作出EF＝2BE，进而判断出EF＝CE，再判断出∠CBE＝90°，进而得出∠BCE＝30°，得出∠AEC＝60°，即可得出结论.

（1）补全图形如图1所示，

根据轴对称得，AD＝AC，∠DAE＝∠CAE＝x，∠DEM＝∠CEM.

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°.

∴AB＝AD.

∴∠ABD＝∠ADB＝y.

在△ABD中，2x+2y+60°＝180°，

∴x+y＝60°.

∴∠DEM＝∠CEM＝x+y＝60°.

∴∠BEC＝60°；

（2）BE＝2DE，

证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，

由对称知，AD＝AC，∠CAD＝2∠CAM＝60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴CD＝AD，

∴AB＝BC＝CD＝AD，

∴四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝2∠CAD＝120°，

∴∠ABC＝60°，

∴∠ABD＝∠DBC＝30°，

由（1）知，∠BEC＝60°，

∴∠ECB＝90°.

∴BE＝2CE.

∵CE＝DE，

∴BE＝2DE.

（3）如图3，（本身点C，A，D在同一条直线上，为了说明∠CBD＝90°，画图时，没画在一条直线上）

延长EB至F使BE＝BF，

∴EF＝2BE，

由轴对称得，DE＝CE，

∵DE＝2BE，

∴CE＝2BE，

∴EF＝CE，

连接CF，同（1）的方法得，∠BEC＝60°，

∴△CEF是等边三角形，

∵BE＝BF，

∴∠CBE＝90°，

∴∠BCE＝30°，

∴∠ACE＝30°，

∵∠AED＝∠AEC，∠BEC＝60°，

∴∠AEC＝60°，

∴∠MAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝90°.