Question

【题目】如图，在中，AB＝AC，，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.

（1）∠EDB＝_____（用含的式子表示）

（2）作射线DM与边AB交于点M，射线DM绕点D顺时针旋转，与AC边交于点N.

①根据条件补全图形；

②写出DM与DN的数量关系并证明；

③用等式表示线段BM、CN与BC之间的数量关系，（用含的锐角三角函数表示）并写出解题思路.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（2）①见解析；②DM＝DN，理由见解析；③数量关系：

【解析】

（1）先利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B=∠C=90°﹣α，然后利用互余可得到∠EDB=α；

（2）①如图，利用∠EDF=180°﹣2α画图；

②先利用等腰三角形的性质得到DA平分∠BAC，再根据角平分线性质得到DE=DF，根据四边形内角和得到∠EDF=180°﹣2α，所以∠MDE=∠NDF，然后证明△MDE≌△NDF得到DM=DN；

③先由△MDE≌△NDF可得EM=FN，再证明△BDE≌△CDF得BE=CF，利用等量代换得到BM+CN=2BE，然后根据正弦定义得到BE=BDsinα，从而有BM+CN=BCsinα．

（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C（180°﹣∠A）=90°﹣α．

∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠EDB=90°﹣∠B=90°﹣（90°﹣α）=α．

故答案为：α；

（2）①如图：

②DM=DN．理由如下：∵AB=AC，BD=DC，∴DA平分∠BAC．

∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，∠MED=∠NFD=90°．

∵∠A=2α，∴∠EDF=180°﹣2α．

∵∠MDN=180°﹣2α，∴∠MDE=∠NDF．

在△MDE和△NDF中，∵，∴△MDE≌△NDF，∴DM=DN；

③数量关系：BM+CN=BCsinα．

证明思路为：先由△MDE≌△NDF可得EM=FN，再证明△BDE≌△CDF得BE=CF，所以BM+CN=BE+EM+CF﹣FN=2BE，接着在Rt△BDE可得BE=BDsinα，从而有BM+CN=BCsinα．