题目内容

如图，直线AB过点A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＞0）．反比例函数y=
m
x
的图象与AB交于C、D两点．P为双曲线y=
m
x
上任一点，过P作PQ⊥x轴于Q，PR⊥y轴于R．请分别精英家教网按（1）、（2）、（3）各自的要求解答问题．
（1）若m+n=10，n为何值时△AOB面积最大，最大值是多少？
（2）若S△AOC=S△COD=S△DOB，求n的值；
（3）在（2）的条件下，过O、D、C三点作抛物线，当该抛物线的对称轴为x=1时，矩形PROQ的面积是多少？
分析：（1）已知了m+n=10，则m=10-n，根据三角形的面积公式即可得出关于S，n的函数关系式，根据函数的性质即可得出S的最大值及对应的n的值．
（2）可根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，然后联立反比例函数的解析式得出C、D两点的横坐标，根据等高的三角形的面积比等于底边比以及S△AOC=S△COD=S△DOB，可得出C、D为AB的三等分点，因此C的横坐标为D的横坐标的2倍，由此可求出n的值．
（3）本题的关键是求出m的值，可根据C得到n的值表示出C、D的坐标，已知了抛物线的对称轴为x=1，因此抛物线与x轴的另一交点坐标为（2，0），然后将C、D坐标代入抛物线中，即可求得m的值．而矩形的面积实际是P点横坐标与纵坐标的积，也就是m的值．
解答：解：（1）∵S△AOB=
1
2
OA•OB=
1
2
m•n，
又∵m+n=10，∴S△AOB=
1
2
(10-n)•n=-
1
2
n2+5n
∴S△AOB=-
1
2
(n-5)2+
25
2
．
∴n=5时，△AOB面积最大，最大值为
25
2
．

（2）分别过D，C作y轴平行线与x轴交于M，N两点，则DM⊥x轴，CN⊥x轴．精英家教网
由已知得△OBD，△ODC，△OCA等高等底．
∴BD=CD=CA．
又∵BO∥DM∥CN，
∴OM=MN=NA=
1
3
OA．∴D点的横坐标为
1
3
m．
又∵点D在函数y=
m
x
的图象上，
∴点D纵坐标为
m
1
3
m
=3．∴点D坐标为(
1
3
m，3)．
同样可求得C点坐标为(
2
3
m，
3
2
)．
设直线AB解析式为y=kx+b（k≠0），
把A，B两点坐标代入，得
km+b=0
b=n.

解得
k=-
n
m
b=n.
∴直线AB解析式为y=-
n
m
x+n．
把D点坐标代入，得-
n
m
•
1
3
m+n=3．
∵m≠0，
∴-
1
3
n+n=3．∴n=
9
2
．

（3）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把O，D，C三点坐标分别代入，得
c=0
1
9
m2a+
1
3
mb+c=3
4
9
m2a+
2
3
mb+c=
3
2
.

解得a=-
81
4m2
，b=
63
4m
，c=0．
∴抛物线解析式为y=-
81
4m2
x2+
63
4m
x．
由已知，得-
63
4m
2×(-
81
4m2
)
=1．
解得m=
18
7
或m=0（不合题意，舍去）．
设P点坐标为（a，b），
∵点P在双曲线y=
m
x
上，则b=
m
a
．即ab=m．
∴S矩形PQOK=PQ•PR=|a||b|=|m|=
18
7
．
点评：本题为二次函数综合题，考查了图形面积的求法、反比例函数、一次函数和二次函数的综合应用、函数图象交点等知识．
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m
x
的图象与直线AB交于C、精英家教网D两点，P为双曲线y=
m
x
上任意一点，过P点作PQ⊥x轴于Q，PR⊥y轴于R．
（1）用含m、n的代数式表示△AOB的面积S；
（2）若m+n=10，n为何值时S最大并求出这个最大值；
（3）若BD=DC=CA，求出C、D两点的坐标；
（4）在（3）的条件，过O、D、C点作抛物线，当该抛物线的对称轴为x=1时，矩形PROQ的面积是多少？
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mx
的图象与直线AB交于C、D两点，连接OC、OD．
（1）已知m+n=10，△AOB的面积为S，问：当n何值时，S取最大值？并求这个最大值．
（2）当△AOC、△COD、△DOB的面积都相等时，求n的值．
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（1）求直线AB的解析式；
（2）若P是直线AB上一点，且⊙P的半径为1，请直接写出⊙P与坐标轴相切时点P的坐标．
如图，直线AB过点A（4，0）、B（0，3）．反比例函数y=
px
（p＞0）的图象与直线AB交于C、D两点，连接OC、OD．
（1）求直线AB的解析式．
（2）若△AOC、△COD、△DOB的面积都相等，求反比例函数的解析式．
如图，直线AB过点O，OC、OD是直线AB同旁的两条射线，若∠BOD比∠COD的3倍大20°，∠AOD比∠BOD的2倍小15°，求∠COD的度数．

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