Question

（2009•同安区质检）如图，直线AB过点A（m，0）、B（0，n）（其中m＞0，n＞0）．反比例函数y=

m

x

的图象与直线AB交于C、D两点，连接OC、OD．
（1）已知m+n=10，△AOB的面积为S，问：当n何值时，S取最大值？并求这个最大值．
（2）当△AOC、△COD、△DOB的面积都相等时，求n的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，得：OA=m，OB=n，又由m+n=10，得m=10-n，进而可得S关于m、n的关系式，结合二次函数的性质计算可得答案；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意，可得关于k、b的关系式，过点D、C分别作x轴的垂线，垂足分别点E、F，由△AOC、△COD、△DOB的面积都相等，可得关系式，解可得答案．

解答：解：（1）根据题意，得：OA=m，OB=n，
所以S=

1

2

mn，
又由m+n=10，得m=10-n，
得：S=

1

2

n（10-n）=-

1

2

n²+5n，
=-

1

2

（n-5）²+

25

2

，
∵-

1

2

＜0，
∴当n=5时，S取最大值

25

2

．  

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
根据题意，得：

mk+b=0 b=n

，
解得：k=-

n

m

，b=n，
所以直线AB的函数关系式为y=-

n

m

x+n．       
过点D、C分别作x轴的垂线，垂足分别点E、F，
当△AOC、△COD、△DOB的面积都相等时，
有S_△AOC=

1

3

S_△AOB，即

1

2

OA×CF=

1

3

×

1

2

OA×OB，
所以CF=

1

3

OB=

1

3

n．                           
即C点的纵坐标为

1

3

n．
将y=

1

3

n代入y=

m

x

，得x=

3m

n

．              
将x=

3m

n

、y=

1

3

n代入直线的函数关系式y=-

n

m

x+n，
得

1

3

n=-3+n，
所以n=

9

2

．

点评：本题考查了反比例函数的图象的性质以及其与直线的关系，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．