Question

10．已知x=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，y=$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$
（1）求x²-3xy+y²的值；
（2）若x的整数部分是a，y的小数部分是b，求a²+b²的值．

Answer 1

分析 （1）先把x，y化简，再代入代数式计算；
（2）先估算$\sqrt{3}$的大小，再确定a，b的值，即可解答．

解答 解：x=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{（2+\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）}$=2-$\sqrt{3}$，y=$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{（2-\sqrt{3}）（2+\sqrt{3}）}$=2+$\sqrt{3}$，
（1）x²-3xy+y²=$（2-\sqrt{3}）^{2}-3（2+\sqrt{3}）×（2-\sqrt{3}）+（2+\sqrt{3}）^{2}$
=7-4$\sqrt{3}$-3+7+4$\sqrt{3}$
=11．
（2）∵x=2-$\sqrt{3}$，y=2+$\sqrt{3}$，1＜$\sqrt{3}$＜2，
∴0＜2-$\sqrt{3}$＜1，3＜2+$\sqrt{3}$＜4，
∴x的整数部分是a=0，y的小数部分是b=2+$\sqrt{3}$-3=$\sqrt{3}$-1，
∴${a}^{2}+{b}^{2}={0}^{2}+（\sqrt{3}-1）^{2}$=4-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了估算有理数的大小，解决本题的关键是估算$\sqrt{3}$的大小．