Question

33、已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根，第三边BC=5．
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求此时△ABC的周长．

Answer 1

分析：（1）先解方程可得x₁=k+1，x₂=k+2，若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，那么有（k+1）²+（k+2）²=5²，易求k，结合实际意义可求k的值；
（2）由（1）得x₁=k+1，x₂=k+2，若△ABC是等腰三角形，则x₁=BC或x₂=BC，易求k=4或3，再分两种情况求周长．

解答：解：（1）根据题意得
[x-（k+1）][x-（k+2）]=0，
解得，x₁=k+1，x₂=k+2，
若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，
那么有（k+1）²+（k+2）²=5²，
解得k₁=2，k₂=-5（不合题意舍去），
∴k=2；
（2）根据（1）得
x₁=k+1，x₂=k+2，
若△ABC是等腰三角形，则x₁=BC或x₂=BC，
即k+1=5或k+2=5，
解得k=4或k=3，
当k=4时，k+1=5，k+2=6，△ABC的周长=5+5+6=16；
当k=3时，k+1=4，k+2=5，△ABC的周长=5+5+4=14．

点评：本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定、解方程．解题的关键是注意分情况讨论．