Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转α度的角，得到矩形CFED，设FC与AB交于点H，且A（0，4）、C（8，0）．
（1）当α=60°时，△CBD的形状是

 

．
（2）当AH=HC时，求直线FC的解析式．

Answer 1

考点：坐标与图形变化-旋转,待定系数法求一次函数解析式

专题：计算题

分析：（1）先根据旋转的性质得∠BCD=60°，CB=CD，然后根据等边三角形的判定方法得到△CBD为等边三角形；
（2）设AH=HC=x，则BH=8-x，CB=4，在Rt△CBH中，根据勾股定理得到x²=（8-x）²+4²，解得x=5，则H点的坐标为（5，4），然后根据待定系数法确定直线FC的解析式．

解答：解：（1）∵矩形COAB绕点C顺时针旋转60度的角，得到矩形CFED，
∴∠BCD=60°，CB=CD，
∴△CBD为等边三角形；
（2）∵A（0，4）、C（8，0），
∴OA=BC=4，OC=AB=8，
设AH=HC=x，则BH=8-x，CB=4，
在Rt△CBH中，
∵CH²=BH²+BC²，
∴x²=（8-x）²+4²，解得x=5，
∴H点的坐标为（5，4），
设直线FC的解析式为y=kx+b，
把C（8，0）、H（5，4）代入得

5k+b=4 8k+b=0

，解得

k=- 4 3 b= 32 3

，
∴直线FC的解析式为y=-

4

3

x+

32

3

．

点评：本题考查了坐标与图形变化变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了待定系数法求一次函数解析式．