Question

10．如图，某市郊景区内一条笔直的公路a经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C，经测量景点C位于景点A的北偏东30°方向，位于景点B的正北方向，且景点B位于景点A的北偏东75°方向，景点B与景点A距离为4km．
（1）求景点A与景点C的距离；
（2）为方便游客到景点游玩，景区管委会准备由景点C向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）过点B作BD⊥AC于点D，先解Rt△ADB，得出AD=BD=2$\sqrt{2}$km，再解Rt△CBD，得出CD=2$\sqrt{6}$km，则AC=AD+CD；
（2）过点C作CE⊥AB于点E．解等腰直角△ACE，即可求出CE的长．

解答 解：（1）如图，过点B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=75°-30°=45°，AB=4km，
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$km．
在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠BCD=30°，
∴CD=$\sqrt{3}$BD=2$\sqrt{6}$km，
∴AC=AD+CD=（2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$）km；
答：景点A与景点C的距离为（2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$）km；

（2）过点C作CE⊥AB于点E．
在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，∠CAE=45°，AC=（2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$）km，
∴CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=（2+2$\sqrt{3}$）km．
答：这条公路长为（2+2$\sqrt{3}$）km．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用-方向角问题，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．