Question

(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点
M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA
的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交
BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为ts(0＜t＜5)．
(1)当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？
(2)设四边形PQCM的面积为ycm²，求y与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
(4)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）假设四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，∴AP=AM
∴，解得
答：当s时，四边形PQCM是平行四边形。
（2）过P作PE⊥AC，交AC于E。

∵PQ∥AC
∴△PBQ∽△ABC，∴△PBQ是等腰三角形，PQ=PB=，
∴，即，解得，
∴
又∵，
∴
答：y与t之间的函数关系式是
（3）
当时，


解得，（舍去）
答：当时，S_{四边形PQCM}＝S_△ABC
（4）假设存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上，则MP=MC，
过M作MH⊥AB,交AB于H，由△AHM∽△ADB

∴,又
∴，
∴
即
在Rt△HMP中，

又∵
由
∴
解得：（舍去）
答：当s时，点M在线段PC的垂直平分线上。解析:
略