题目内容
(本题满分12分)
如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴的右交点为点A,与y
轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC.现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)
(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;
(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?
(3)请说明当0<t<4.5时,△PQF的面积总为定值;
(4)当0≤t≤4.5是否存在△PQF为等腰三角形?当t为何值时,△PQF为等腰三角形?(直接写出结果)
![]()
解:(1)由y=
(x2―8x―180),令y=0,
得x2―8x―180=0,(x―18)(x+10)=0,∴x=18,x=―10,
∴A(18,0)……………………………………………………………………………………1分
在y=
x2―
x―10,令x=0,y=―10,即B(0,―10).……………………………2分
∵BC∥OA,故点C的纵坐标为―10.
由―10 y=
x2―
x―10,得x=8或x=0 .
即C(8,―10)且易求出顶点
……………………………………………………3分
于是A(18,0),B(0,―10),C(8,―10).顶点坐标为
……………4分
(2)若四边形PQCA为平行四边形,由于QC∥PA,故只要QC=PA即可,
而PA=18―QC=t,故18―4t=t,得
………………………………………6分
(3)设点P运动t秒,则OP=4t,QC=t,0<t<4.5.说明P在线段OA上,且不与
点O,A重合.
∵QC∥OP,∴△QDC∽△PDO,∴![]()
同理QC∥AF,故
即![]()
∴AF=4t=OP.∴PF=PA+AF=PA+OP=18,………………………………………7分
∵点Q到直线PF的距离d=10,
∴S△PQF=
••PF•d=
×18×10=90.
所以△PQF的面积总为定值90.…………………………………………………………9分
(4)故当
不存在等腰三角形△PQF.……………………………………10分
当
时,
为等腰三角形.…………………………………………12分
解析:略
(本题满分12分)
如图,
的顶点A、B在二次函数
的图像上,又点A、B[来分别在
轴和
轴上,
∠ABO=
.
![]()
1.(1)求此二次函数的解析式;(4分)
2.
|
点
在上述函数图像上,当
与
相似时,求点
的坐标.(8分)