题目内容

(本题满分12分)

如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴的右交点为点A,与y

 

轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC.现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)

(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;

(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?

(3)请说明当0<t<4.5时,△PQF的面积总为定值;

(4)当0≤t≤4.5是否存在△PQF为等腰三角形?当t为何值时,△PQF为等腰三角形?(直接写出结果)

 

解:(1)由y=(x2―8x―180),令y=0,

得x2―8x―180=0,(x―18)(x+10)=0,∴x=18,x=―10,

∴A(18,0)……………………………………………………………………………………1分

在y=x2―x―10,令x=0,y=―10,即B(0,―10).……………………………2分

∵BC∥OA,故点C的纵坐标为―10.

由―10 y=x2―x―10,得x=8或x=0 .

即C(8,―10)且易求出顶点……………………………………………………3分

于是A(18,0),B(0,―10),C(8,―10).顶点坐标为……………4分

(2)若四边形PQCA为平行四边形,由于QC∥PA,故只要QC=PA即可,

而PA=18―QC=t,故18―4t=t,得………………………………………6分

(3)设点P运动t秒,则OP=4t,QC=t,0<t<4.5.说明P在线段OA上,且不与

点O,A重合.

∵QC∥OP,∴△QDC∽△PDO,∴

同理QC∥AF,故即

∴AF=4t=OP.∴PF=PA+AF=PA+OP=18,………………………………………7分

∵点Q到直线PF的距离d=10,

∴S△PQF=••PF•d=×18×10=90.

所以△PQF的面积总为定值90.…………………………………………………………9分

(4)故当不存在等腰三角形△PQF.……………………………………10分

当 时,为等腰三角形.…………………………………………12分

 

解析:略

 

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