Question

【题目】课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．

实验与论证：

设旋转角∠A1A0B1＝α(α＜∠A1A0A2)，θ3、θ4、θ5、θ6所表示的角如图所示．

(1)用含α的式子表示角的度数：θ3＝　 　，θ4＝　 　，θ5＝　 　；

(2)图1﹣图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；

归纳与猜想：

设正n边形A0A1A2…An﹣1与正n边形A0B1B2…Bn﹣1重合(其中，A1与B1重合)，现将正多边形A0B1B2…Bn﹣1绕顶点A0逆时针旋转α(0°＜α＜°)；

(3)设θn与上述“θ3、θ4、…”的意义一样，请直接写出θn的度数；

(4)试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来(不要求证明)；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）60°﹣α，α，36°﹣α；（2）存在，证明见详解；（3）当n为奇数时，θn＝﹣α；当n为偶数时，θn＝α；（4）存在．当n为奇数时，直线A0H垂直平分，当n为偶数时，直线A0H垂直平分

【解析】

(1)由正三角形的性质得α+θ3＝60°，再由正方形的性质得θ4＝45°﹣(45°﹣α)＝α，最后由正五边形的性质得θ5＝108°﹣36°﹣36°﹣α＝36°﹣α；

(2)存在，如在图1中直线A0H垂直且平分的线段A2B1，△A0A1A2≌△A0B1B2，推得A2H＝B1H，则点H在线段A2B1的垂直平分线上；由A0A2＝A0B1，则点A0在线段A2B1的垂直平分线上，从而得出直线A0H垂直且平分的线段A2B1

(3)当n为奇数时，θn＝﹣α；

当n为偶数时，θn＝α

(4)多写几个总结规律：

当n为奇数时，直线A0H垂直平分，

当n为偶数时，直线A0H垂直平分.

解：(1) ∵三角形的性质得α+θ3＝60°，

∴θ3=60°﹣α，

由正方形的性质得θ4＝45°﹣(45°﹣α)＝α，

由正五边形的性质得θ5＝108°﹣36°﹣36°﹣α＝36°﹣α，

故答案为60°﹣α；α；36°﹣α；

(2)存在．下面就所选图形的不同分别给出证明：

选图如，

图中有直线A0H垂直平分A2B1，证明如下：

方法一：

证明：∵△A0A1A2与△A0B1B2是全等的等边三角形

∴A0A2＝A0B1

∴∠A0A2B1＝∠A0B1A2，

又∠A0A2H＝∠A0B1H＝60°

∴∠HA2B1＝∠HB1A2

∴A2H＝B1H，∴点H在线段A2B1的垂直平分线上

又∵A0A2＝A0B1，∴点A0在线段A2B1的垂直平分线上

∴直线A0H垂直平分A2B1

方法二：

证明：∵△A0A1A2与△A0B1B2是全等的等边三角形

∴A0A2＝A0B2，

∴∠A0A2B1＝∠A0B1A2，

又∠A0A2H＝∠A0B1H＝60°，

∴∠HA2B1＝∠HB1A2

∴A2H＝B1H，

在△A0A2H与△A0B1H中

∵A0A2＝A0B1，

HA2＝HB1，∠A0A2H＝∠A0B1H

∴△A0A2H≌△A0B1H

∴∠A0A2H＝∠A0B1H，

∴A0H是等腰三角形A0A2B1的角平分线，

∴直线A0H垂直平分A2B1选图如，

图中有直线A0H垂直平分A2B2，证明如下：

∵A0B2＝A0A2∴∠A0B2A2＝∠A0A2B2

又∵∠A0B2B1＝∠A0A2A3

∴∠HB2A2＝∠HA2B2

∴HB2＝HA2

∴点H在线段A2B2的垂直平分线上

又∵A0B2＝A0A2，∴点A0在线段A2B2的垂直平分线上

∴直线A0H垂直平分A2B2

(3)当n为奇数时，θn＝﹣α；

当n为偶数时，θn＝α．

(4)存在．

当n为奇数时，直线A0H垂直平分，

当n为偶数时，直线A0H垂直平分