题目内容
如图，Rt△ABC中，∠B=90°，正方形EFDQ、正方形MNPQ公共顶点记为点Q，其余的各个顶点都在Rt△ABC的边上，若AC=5，BC=3，则EP=| 60 |
| 29 |
| 60 |
| 29 |
分析：过P作BC垂线，垂足为G，可证△QDM≌△MBN≌△NGP，△AEF∽△PGC∽△ABC设EF=3a，CG=3b，则AE=5a，AF=4a，PC=5b，PG=4b，可列二元一次方程组：3a+7b=3，10a+4b=4，求出a、b的值，代入EP=5-5a-5b求出即可．
解答：
解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=5，BC=3，由勾股定理得：AB=4，
过P作PG⊥BC于G，
∵四边形EFDQ和四边形QMNP是正方形，
∴∠CGP=∠QMN=∠QDF=∠B=90°，PN=MN=MQ，
∴∠GPN+∠GNP=90°，∠GNP+∠BNM=90°，
∴∠GPN=∠BNM，
同理∠BNM=∠QMD，
在△GPN、△BNM、△DMQ中，
∠PGN=∠B=∠QDM=90°，∠GPN=∠BNM=∠DMQ，PN=MN=QM，
∴△QDM≌△MBN≌△NGP，
∴PG=BN=DM，GN=BM=DQ，
∵∠PGC=∠B=90°，
∴△CGP∽△CBA，
∴
=
=
，
∴
=
同理
=
，
=
，
设EF=3a，CG=3b，则AE=5a，AF=4a，PC=5b，PG=4b=BN=DM，GN=BM=DQ=EF=3a，
可列一元二次方程组：
解得：a=
，b=
EP=5-5a-5b=
，
故答案为：
．
解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=5，BC=3，由勾股定理得：AB=4，过P作PG⊥BC于G，
∵四边形EFDQ和四边形QMNP是正方形，
∴∠CGP=∠QMN=∠QDF=∠B=90°，PN=MN=MQ，
∴∠GPN+∠GNP=90°，∠GNP+∠BNM=90°，
∴∠GPN=∠BNM，
同理∠BNM=∠QMD，
在△GPN、△BNM、△DMQ中，
∠PGN=∠B=∠QDM=90°，∠GPN=∠BNM=∠DMQ，PN=MN=QM，
∴△QDM≌△MBN≌△NGP，
∴PG=BN=DM，GN=BM=DQ，
∵∠PGC=∠B=90°，
∴△CGP∽△CBA，
∴
| CG |
| PC |
| CB |
| AC |
| 3 |
| 5 |
∴
| CG |
| PG |
| 3 |
| 4 |
同理
| EF |
| AF |
| 3 |
| 4 |
| EF |
| AF |
| 3 |
| 5 |
设EF=3a，CG=3b，则AE=5a，AF=4a，PC=5b，PG=4b=BN=DM，GN=BM=DQ=EF=3a，
可列一元二次方程组：
|
解得：a=
| 8 |
| 29 |
| 9 |
| 29 |
EP=5-5a-5b=
| 60 |
| 29 |
故答案为：
| 60 |
| 29 |
点评：本题考查了正方形性质，相似三角形的性质和判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，有一定的难度．
练习册系列答案
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