Question

如图，抛物线y=-

1

4

x2+4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接AC，BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连接BF，交DE于点P．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求证：BF⊥AB；
（3）连接CP，记△CPF的面积为S₁，△CPB的面积为S₂，若S=S₁-S₂，试探究S的最小值．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y=-

1

4

x2+4交x轴于点A、B，当x=0，求出图象与y轴的交点坐标，以及y=0，求出图象与x轴的交点坐标，即可得出三角形的形状；
（2）首先证明△ACD≌△BCF，利用三角形的全等，得出∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，即可得出答案；
（3）首先根据∠DCO=∠PDB，证明△DCO∽△PDB，再利用相似三角形的性质得出二次函数，再求出最值．

解答：（1）解：令x=0，得y=4，
∴C（0，4），
令y=0，得x₁=4，x₂=-4，
∴A（-4，0），B（4，0），
∴OA=OB=OC，
∴△ABC是等腰直角三角形；

（2）证明：如图，∵△ABC是等腰直角三角形，CDEF是正方形，
∴AC=BC，CD=CF，∠ACD=∠BCF，
在△ACD和△BCF中

AC=BC ∠ACD=∠BCF CD=CF

，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴∠CBF=∠CAD=45°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，
∴BF⊥AB．

（3）解：连接CP，
∵∠CDE=90°，
∴∠CDO+∠PDB=90°，
∵∠CDO+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠PDB，
∴△DCO∽△PDB，
∴

OD

BP

=

OC

DB

，
设OD=x，BP=y，则

x

y

=

4

4-x

，
∴y=-

1

4

x2+x，
∵BF=AD=4+x，
∴PF=(4+x)-(-

1

4

x2+x)=

1

4

x2+4，
∴S=S1-S2=

1

2

×4×(

1

4

x2+4)-

1

2

×4×(-

1

4

x2+x)=x²-2x+8=（x-1）²+7，
∴当OD=x=1时，S有最小值7．

点评：此题主要考查了二次函数的最值问题和等腰直角三角形的性质，以及相似三角形的性质与判定等知识，知识考查比较全面，考查知识点是中考中的一个热点问题，也是初中阶段的重点题型．