Question

【题目】如图1，直线y=x+1与抛物线相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对称，连接AN、BN．

（1）①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM；

（2）如图2，将题中直线y=x+1变为y=kx+b（b＞0），抛物线变为（a＞0），其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①A（，），B（ 1，2）；②证明见解析；（2）成立，理由见解析．

【解析】

（1）①联立直线和抛物线解析式可求得A、B两点的坐标；②过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，可分别求得∠ANM和∠BNM的正切值，可证得结论；

（2）当k=0时，由对称性可得出结论；当k≠0时，过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F，设A（ ，）、B（ ，），联立直线和抛物线解析式，消去y，利用根与系数的关系，可求得，则可证明Rt△AEN∽Rt△BFN，可得出结论．

解：（1）①由已知得，解得或x=1，当时，y=，当x=1时，y=2，∴A、B两点的坐标分别为（，），（ 1，2）；

②如图1，过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，由①及已知有A（，），B（ 1，2），且OM=ON=1，∴tan∠ANM===，tan∠BNM== =，∴tan∠ANM=tan∠BNM，∴∠ANM=∠BNM；

（2）∠ANM=∠BNM成立，①当k=0，△ABN是关于y轴的轴对称图形，∴∠ANM=∠BNM；

②当k≠0，根据题意得：OM=ON=b，设A（ ，）、B（ ，）．

如图2，过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F，由题意可知：ax2=kx+b，即ax2﹣kx﹣b=0，∴，，∵

==，

∴，

∴Rt△AEN∽Rt△BFN，

∴∠ANM=∠BNM．