Question

【题目】如图，边长均为的正和正原来完全重合．如图，现保持正不动，使正绕两个正三角形的公共中心点按顺时针方向旋转，设旋转角度为．（注：除第题中的第②问，其余各问只要直接给出结果即可）

当多少时，正与正出现旋转过程中的第一次完全重合？

当时，要使正与正重叠部分面积最小，可以取哪些角度？

旋转时，如图，正和正始终具有公共的外接圆．当时，记正与正重叠部分为六边形．当在这个范围内变化时，

①求面积相应的变化范围；

②的周长是否一定？说出你的理由．

Answer 1

【答案】；当、或时重叠部分面积最小；①；②的周长一定；理由见解析.

【解析】

（1）因为当B′与A重合时正△A'B'C'与正△ABC出现旋转过程中的第一次完全重合，故α=120°；

（2）当△A′B′C′中任意一条边与△ABC平行时重叠部分面积最小，由（1）可知当B′与A重合时正△A'B'C'与正△ABC出现旋转过程中的第一次完全重合时α=60°，所以当α=60°、180°或300°时重叠部分面积最小；

（3）①由于两三角形的边长均为6，所以当A′B′∥BC时，△ADI为等边三角形，所以ID=2，所以S△ADI=IDAIsin60°=×2×2×=，进而可得出结论；

②连接AB′，根据AB=A'B'，可得出，再根据圆周角定理即可得出IA=IB'，DA=DA'，进而可得出结论．

∵当与重合时正与正出现旋转过程中的第一次完全重合，此时点与重合，旋转角度，

∴当时，正与正

出现旋转过程中的第一次完全重合；

当中任意一条边与平行时重叠部分面积最小，

∵由可知当与重合时正与正出现旋转过程中的第一次完全重合时，

∴当、或时重叠部分面积最小；

①∵两三角形的边长均为，

∴当时，为等边三角形，

∴，

∴，

∴面积相应的变化范围为：

②的周长一定；理由如下：

连接，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

同理，，

∴的周长：．