Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，BC=2AD，对角线AC、BD相交于点E．
（1）求证：∠ADC=90°；
（2）若AC=6，AD=2，求∠ABC的正弦值和线段BE长．

Answer 1

分析：（1）首先作辅助线：过点A作AF⊥BC于F，有等腰三角形中的三线合一，可得FC=

1

2

BC=AD，又由AD∥BC，易证得四边形ADCF是平行四边形，再由∠AFC=90°，证得四边形ADCF是矩形，即可得到∠ADC=90°；
（2）在直角三角形ABF中，即可求得∠ABC的正弦值，由AD∥BC，得到△AED∽△CEB，即可求得线段BE长．

解答：（1）证明：过点A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，
∴FC=

1

2

BC=AD，∠AFC=90°，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠AFC=90°，
∴四边形ADCF是矩形，
∴∠ADC=90°；

（2）解：∵∠ADC=90°，AC=6，AD=2，
∴CD=4

2

，
∴sin∠ABC=

4 2

6

=

2 2

3

，
∵AD∥BC，
∴△AED∽△CEB，
∴

DE

BE

=

AD

BC

=

1

2

，
∵BD=

BC2+CD2

=4

3

，
∴BE=

8

3

3

．

点评：此题考查了平行四边形与矩形的判定，以及等腰三角形与直角三角形的性质．此题考查了内容比较全面，但是难度不大，解题的关键是仔细识图．