Question

关于x的方程（a²+1）x²-2（a+b）x+b²+1=0．
（1）若b=2，且2是此方程的根，求a的值；
（2）若此方程有实数根，当-5＜a＜-2时，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把b=2，x=2代入原方程（a²+1）x²-2（a+b）x+b²+1=0求出关于a的方程的解即可；
（2）根据根的判别式的意义得到△=4（a+b）²-4（a²+1）（b²+1）≥0，整理得（ab-1）²≤0，利用非负数的性质得到ab-1=0，则a=

1

b

，由于-5＜a＜-2，于是得到-

1

2

＜b＜-

1

5

．

解答：解：（1）把b=2，x=2代入方程得4（a²+1）-4（a+2）+4+1=0，解得a₁=a₂=

1

2

即a的值为

1

2

；

（2）根据题意得△=4（a+b）²-4（a²+1）（b²+1）≥0，
∴（ab）²-2ab+1≤0，即（ab-1）²≤0，
∴ab-1=0，
∴a=

1

b

，
∵-5＜a＜-2
∴-

1

2

＜b＜-

1

5

．．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．