Question

已知关于x的方程（a²+1）x²-2（a+b）x+b²+1=0
（1）若b=2，且2是此方程的根，求a的值；
（2）若此方程有实数根，当-3＜a＜-1时，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先把b=2，x=2代入方程得4（a²+1）-4（a+2）+4+1=0，然后解关于a的一元二次方程即可；
（2）根据根的判别式的意义得到△=4（a+b）²-4（a²+1）（b²+1）≥0，整理得（ab-1）²≤0，利用非负数的性质得到ab-1=0，则a=

1

b

，
由于-3＜a＜-1，于是得到-1＜b＜-

1

3

．

解答：解：（1）把b=2，x=2代入方程得4（a²+1）-4（a+2）+4+1=0，解得a₁=a₂=

1

2

，
即a的值为

1

2

；
（2）根据题意得△=4（a+b）²-4（a²+1）（b²+1）≥0，
∴（ab）²-2ab+1≤0，即（ab-1）²≤0，
∴ab-1=0，
∴a=

1

b

，
∵-3＜a＜-1
∴-1＜b＜-

1

3

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．