Question

已知：∠C=Rt∠，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，且a：b=3：4，a+b=c+4．
（1）求a、b、c 的值；
（2）已知AB上有一点E，并以BE为直径画圆，并且这个圆与AC相切于D点，求该圆的半径．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据a：b=3：4，设a=3k，b=4k．根据勾股定理，得c=5k；再根据a+b=c+4，求得k的值，从而求得a，b，c的长；
（2）根据题意画出图形，设该圆的半径为r，连接OD，由切线的性质可知OD⊥AC，故可得出OD∥BC，所以△AOD∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出r的值．

解答：解：（1）∵a：b=3：4，
∴设a=3k，则b=4k．
∴c=

a2+b2

=

(3k)2+(4k)2

=5k，
又∵a+b=c+4，
∴3k+4k=5k+4，解得k=2．
∴a=6，b=8，c=10；

（2）如图所示：设该圆的半径为r，连接OD，
∵点D是AC与⊙O的切点，
∴OD⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴

OA

AB

=

OD

BC

，

10-r

10

=

r

6

，解得r=

15

4

．

点评：本题考查的是圆的综合题，根据题意画出图形，利用相似三角形的性质求解是解答此题的关键．