Question

已知抛物线y=-x²+ax+

1

2

，直线y=2x
（1）求证：抛物线与直线相交；
（2）求档抛物线的顶点在直线的下方时，a的取值范围；
（3）当a在（2）的取值范围内时，求抛物线截直线所得弦长的最小值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）联立两函数解析式消掉y得到关于x的一元二次方程，再利用根的判别式证明；
（2）把函数解析式整理成顶点式解析式，然后根据抛物线顶点在直线下方列出不等式，然后求解即可；
（3）求出两交点的横坐标的差值，然后解直角三角形表示出弦长，再利用二次函数的最值问题解答即可．

解答：解：（1）由题意得，-x²+ax+

1

2

=2x，
整理得，x²+（2-a）x-

1

2

=0，
△=b²-4ac=（2-a）²-4×1×（-

1

2

）=（2-a）²+2≥2，
所以，方程有两个不相等的实数根，
所以，抛物线与直线相交；

（2）∵y=-x²+ax+

1

2

=-（x-

a

2

）²+

a2

4

+

1

2

，
∴抛物线的顶点坐标为（

a

2

，

a2

4

+

1

2

），
∵抛物线的顶点在直线的下方，
∴

a2

4

+

1

2

＜2×

a

2

，
∴a²-4a+2＜0，
解得2-

2

＜a＜2+

2

；

（3）设x²-（2-a）x-

1

2

=0的两个根分别为x₁，x₂，
则x₁+x₂=a-2，x₁•x₂=-

1

2

，
|x₁-x₂|=

(a-2)2-4×(- 1 2 )

=

(a-2)2+2

，
∵两交点在直线y=2x上，
∴弦长=

5

|x₁-x₂|=

5

(a-2)2+2

，
∵2-

2

＜a＜2+

2

，
∴当a=2时，弦长有最小值

5

×

2

=

10

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了根的判别式，利用二次函数与不等式求不等式的关系，根与系数的关系，难点在于（3）根据直线解析式利用两交点的横坐标表示出弦长．