题目内容

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标为O（0，0），A（2 $数学公式$ ，0），B（2 $数学公式$ ，2），把矩形OABC绕点O逆时针方向旋转α度，使点B正好落在y轴正半轴上，得到矩形OA₁B₁C₁．
（1）求角α的度数；
（2）求直线A₁B₁的函数关系式，并判断直线A₁B₁是否经过点B，为什么？

解：（1）∵A（2 $\text{[math]}$ ，0），B（2 $\text{[math]}$ ，2），
∴A₁B₁=AB=2，OA=OA₁=2 $\text{[math]}$ ，
∴tan∠A₁OB₁=A₁B₁：OA₁=2：2 $\text{[math]}$ =1： $\text{[math]}$ ，
∴∠A₁OB₁=30°，
∴α=60°；

（2）在Rt△A₁B₁O中，B₁O= $\text{[math]}$ =4，
∴B₁的坐标为（0，4），
如图过A₁作A₁E⊥OA于E，
∵α=60°，
∴A₁E=3，OE= $\text{[math]}$ ，
∴A（ $\text{[math]}$ ，3），
设直线A₁B₁的解析式为y=kx+b，
依题意得 $\text{[math]}$ ，
∴k=- $\text{[math]}$ ，b=4，
∴y=- $\text{[math]}$ x+4．
而B（2 $\text{[math]}$ ，2），
代入解析式中，左边=2，右边=- $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ +4=2；
左边=右边，
∴直线A₁B₁经过点B．
分析：（1）由于A（2 $\text{[math]}$ ，0），B（2 $\text{[math]}$ ，2），根据旋转知道A₁B₁=AB，OA=OA₁，然后利用三角函数可以求出∠A₁OB₁的度数，再求出α的度数；
（2）利用勾股定理求出OB的长度，也就求出了B₁O的长度，利用α的度数可以求出A₁的坐标，再利用待定系数法求出直线A₁B₁的函数关系式，也可以判断直线A₁B₁是否经过点B．
点评：此题把一次函数与矩形相结合，考查了同学们综合运用所学知识的能力，是一道综合性较好的题目．其中求α的度数是解题的突破口．