Question

如图①，△ABC与△DEF是将△ACF沿过A点的某条直线剪开得到的（AB，DE是同一条剪切线）．平移△DEF使顶点E与AC的中点重合，再绕点E旋转△DEF，使ED，EF分别与AB，BC交于M，N两点．

（1）如图②，△ABC中，若AB=BC，且∠ABC=90°，则线段EM与EN有何数量关系？请直接写出结论；

（2）如图③，△ABC中，若AB=BC，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由；

（3）如图④，△ABC中，若AB：BC=m：n，探索线段EM与EN的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）EM=EN．

证明：过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如答图②所示．

则∠EHB=∠EGB=90°．

∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．

∵∠HBG+∠DEF=180°，

∴∠HEG=∠DEF．

∴∠HEM=∠GEN．

∵BA=BC，点E为AC中点，

∴BE平分∠ABC．

又∵EH⊥AB，EG⊥BC，

∴EH=EG．

在△HEM和△GEN中，

∵∠HEM=∠GEN，EH=EG，∠EHM=∠EGN，

∴△HEM≌△GEN．

∴EM=EN．

（2）EM=EN仍然成立．

证明：过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如答图③所示．

则∠EHB=∠EGB=90°．

∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．

∵∠HBG+∠DEF=180°，

∴∠HEG=∠DEF．

∴∠HEM=∠GEN．

∵BA=BC，点E为AC中点，

∴BE平分∠ABC．

又∵EH⊥AB，EG⊥BC，

∴EH=EG．

在△HEM和△GEN中，

∵∠HEM=∠GEN，EH=EG，∠EHM=∠EGN，

∴△HEM≌△GEN．

∴EM=EN．

（3）线段EM与EN满足关系：EM：EN=n：m．

证明：过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如答图④所示．

则∠EHB=∠EGB=90°．

∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．

∵∠HBG+∠DEF=180°，

∴∠HEG=∠DEF．

∴∠HEM=∠GEN．

∵∠HEM=∠GEN，∠EHM=∠EGN，

∴△HEM∽△GEN．

∴EM：EN=EH：EG．

∵点E为AC的中点，

∴S_△AEB=S_△CEB．

∴AB•EH=BC•EG．

∴EH：EG=BC：AB．

∴EM：EN=BC：AB．

∵AB：BC=m：n，

∴EM：EN=n：m．