Question

【题目】如图1，AD∥BC，AB ⊥BC于B，∠DCB=75°，以CD为边的等边△DCE的另一顶点E在线段AB上．

(1)填空：∠ADE=____°；

(2)求证： AB=BC;

(3)如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30°，求的值．

Answer 1

【答案】（1）45;（2）证明见解析（3）1．

【解析】

解：（1）∵∠DCB=75°，AD∥BC，

∴∠ADC=105°

∵△DCE为等边三角形，

∴∠EDC=60°，

∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=45°．

（2）证明：连接AC

由（1）知∠ADE =45，

∵AB⊥BC，AD∥BC，

∴∠DAB=90 ，

∴∠AED=45，

∴AD=AE，

∴点A在线段DE的垂直平分线上，

∵△DCE为等边三角形，

∴CD=CE，

∴点C也在线段DE的垂直平分线上 ，

∴AC就是线段DE的垂直平分线，

即AC⊥DE，

∴AC平分∠EAD，

∴∠BAC=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形

∴BA=BC

（3）解：连接AF，延长BF交AD的延长线于点G

∵∠FBC=30，∠ABC=90，

∴∠ABF=60，

∵∠DCB=75，

∴∠BFC=75，

故BC=BF，

由(2)知：BA=BC，

∴BA=BF，

∴△ABF是等边三角形，

∴AB=BF=FA，

∴∠BAC=60 ，

∴∠DAF=30，

又∵AD∥BC，

∴∠FAG=∠G=30，

∴FG =FA= FB，

又∠DFG=∠CFB，

∴△BCF≌△GDF（ASA），

∴DF=CF，

∴=1．