Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A开始，沿AB边向点B移动，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E、设点P运动时间为t秒（0＜t＜10），△PAD和△PBE的面积分别为S₁，S₂，
（1）当t=1时，求

PD

BC

的值；
（2）在点P移动的过程中，是否存在t值，使得3S₁+S₂=24？若存在，求出这个t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知P点的移动速度，当t=1s时，AP=1，由题意可得，△APD∽△PBE，可知

PD

BC

=

AP

AB

，可得出

PD

BC

的值；
（2）假设存在t值，使得3S₁+S₂=24，分别解直角三角形APD、PBE，可得到PD、PE、AD、BE关于t的关系式，在用它们表示面积，再由3S₁+S₂=24可得关于t的等式，即可求得t的值．

解答：解：（1）动点P以每秒1个单位长度的速度从点A开始，沿AB边向点B移动，
当t=1时，AP=1，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠A+∠APD=90°
∴∠A=∠BPE，∠APD=∠B
∴△APD∽△PBE
∴

PD

BC

=

AP

AB

=

1

10

故当t=1时，

PD

BC

=

1

10

；

（2）假设存在t值，使得3S₁+S₂=24，则：
AP=t，PB=10-t，
由题意得，sin∠A=cos∠B=

4

5

，cos∠A=sin∠B=

3

5

，
∴

PD

PA

=

PE

PB

=

4

5

，

AD

PA

=

BE

PB

=

3

5

∴PD=

4

5

t，PE=

4

5

（10-t），AD=

3

5

t，BE=

3

5

（10-t）
∵S₁=

1

2

×PD×AD=

6

25

t²，S₂=

1

2

×PE×BE=

6

25

（10-t）²
∴3×

6

25

t²+

6

25

（10-t）²=24
解得t=5s
∴存在t=5秒，使得3S₁+S₂=24．

点评：本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的判断和性质．