Question

2．已知关于x的一元二次方程x²-（m+6）x+3m+9=0的两个实数根分别为x₁，x₂．
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若n=4（x₁+x₂）-x₁x₂，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经过点A（1，16），并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案；
（2）根据n=4（x₁+x₂）-x₁x₂，求出n=m+15，即可得出动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（1，16）．

解答 解（1）∵△=（m+6）²-4（3m+9）=m²≥0
∴该一元二次方程总有两个实数根         

（2）动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（1，16），
∵n=4（x₁+x₂）-x₁x₂=4（m+6）-（3m+9）=m+15
∴P（m，n）为P（m，m+15）．
∴A（1，16）在动点P（m，n）所形成的函数图象上．

点评 此题考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．