Question

如图所示，⊙O中，弦AC、BD交于E，

BD

=2

AB

．
（1）求证：AB2=AE?AC；
（2）延长EB到F，使EF=CF，试判断CF与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接BC，由

BD

=2

AB

，得弧AD=弧AB，则∠ABD=∠ACB，得到△ABE∽△ABC，所以AB2=AE?AC；
（2）连接AO、CO，由A为

DB

中点，得到AO⊥DB，得到∠OAC+∠AED=90°，所以∠OAC+∠FEC=90°，而EF=CF，则∠FEC=∠ECF，
又∠OAC=∠OCA，所以∠OAC+∠FEC=∠OCA+∠ECF=90°，即得到CF与⊙O相切．

解答：证明：（1）连接BC，如图，
∵

BD

=2

AB

．
∴弧AD=弧AB，
∴∠ABD=∠ACB，
而∠CAB公用，
∴△ABE∽△ABC，
∴

AB

AC

=

AE

AB

，
∴AB2=AE?AC；

（2）CF与⊙O相切．理由如下：
连接AO、CO，
∵A为

DB

中点，
∴AO⊥DB，
∴∠OAC+∠AED=90°
∵∠AED=∠FEC，
∴∠OAC+∠FEC=90°，
又∵EF=CF，
∴∠FEC=∠ECF，
∵AO=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC+∠FEC=∠OCA+∠ECF=90°，
∴FC与⊙O相切．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了三角形相似的判定与性质、等腰三角形的性质和切线的判定．