题目内容
【题目】如图，点E是矩形ABCD边AB上一动点（不与点B重合），过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF，已知AB＝4cm，AD＝2cm，设A，E两点间的距离为xcm，△DEF面积为ycm2．
小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）确定自变量x的取值范围是 ；
（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如表：
x/cm | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | … |
y/cm2 | 4.0 | 3.7 | 3.9 | 3.8 | 3.3 | 2.0 | … |
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF面积最大时，AE的长度为 cm．
【答案】（1）0≤x＜4；（2）3.8，4.0;（3）见解析;（4）0，2．
【解析】
（1）利用点E在线段AB上，即可得出结论；
（2）先判断出△ADE∽△BEF，得出
，进而表示出BF=
，再取x=1和x=2求出y的即可；
（3）利用画函数图象的方法即可得出结论；
（4）由图象可知，即可得出结论．
（1）∵点E在AB上，
∴0≤x＜4，
故答案为：0≤x＜4；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝2，CD＝AB＝4，∠A＝∠B＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，
∵EF⊥DE，
∴∠AED+∠BEF＝90°，
∴∠ADE＝∠BEF，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE∽△BEF，
∴，
∵AE＝x，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣x，
∴
，
∴BF＝，
当x＝1时，BF＝
，
∴CF＝BC﹣BF＝2﹣＝
，
y＝S矩形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEF﹣S△CDF＝8﹣×2×1﹣×3×﹣×4×＝3.75≈3.8，
当x＝2时，BF＝2，
∴CF＝BC﹣BF＝0，此时，点F和点C重合，
y＝S矩形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEF＝8﹣×2×2﹣×2×2＝4.0
故答案为：3.8，4.0
（3）描点，连线，画出如图所示的图象，
（4）由图象可知，当x＝0或2时，△DEF面积最大，
即：当△DEF面积最大时，AE＝0或2，
故答案为0，2．
