题目内容

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，已知A（0，4）、C（5，0）．作∠AOC的角平分线交AB于点D，连接DC，过D作DE⊥DC交OA于点E．
（1）求点D的坐标；
（2）求证：△ADE≌△BCD；
（3）抛物线y= $数学公式$ x²- $数学公式$ x+4经过A、C两点，连接AC．探索：若点P是x轴下方抛物线上一动点，求点P作平行于y轴的直线交AC于点M．是否存在点P，使线段MP长度有最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由．

（1）解：OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOC，
∵四边形AOCB是矩形，
∴AB∥OC，
∴∠ADO=∠DOC，
∴∠AOD=∠ADO，
∴OA=AD（等角对等边），
∴D点的坐标为（4，4），

（2）证明：∵四边形AOCB是矩形，
∴∠OAB=∠B=90°，BC=OA，
∵OA=AD，
∴AD=BC，
∵ED⊥DC，
∴∠EDC=90°，
∴∠ADE+∠BDC=90°，
∴∠BDC+∠BCD=90°，
∴∠ADE=∠BCD，
在△ADE和△BCD中，
$\text{[math]}$ ，
∴△ADE≌△BCD（ASA），

（3）解：存在．
∵二次函数的解析式为：y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+4，点P是抛物线上的一动点，
∴设P点坐标为（t， $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t+4），
设AC所在的直线的函数关系式为y=kx+b，A（0，4）、C（5，0），
∴ $\text{[math]}$ ，
∴k=- $\text{[math]}$ ，b=4，
∴直线AC的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+4，
∵PM∥y轴，
设M（t，- $\text{[math]}$ t+4），
PM=-（ $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t+4）+（- $\text{[math]}$ t+4）
=- $\text{[math]}$ t²+4t
=- $\text{[math]}$ （t- $\text{[math]}$ ）²+5，
当t= $\text{[math]}$ 时，PM有最大值为5，
∴所求的P点坐标为（ $\text{[math]}$ ，-3）．
分析：（1）根据OD平分∠AOC，可得∠ADO=∠DOC，再由AOBC是矩形，进一步得到∠AOD=∠ADO，根据等角对等边可得到OA=AD，进而求出D点坐标；
（2）四边形AOCB是矩形，得到∠OAB=∠B=90°，BC=OA，进而证明出AD=BC，再根据角之间的等量关系∠ADE=∠BCD，于是可证明出△ADE≌△BCD；
（3）设P点坐标为（t， $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t+4），设AC所在的直线的函数关系式为y=kx+b，根据A（0，4）、C（5，0），求出AC的解析式，进而用t表示出PM的长，利用二次函数的性质求出PM的最值，点P的坐标也可以求出．
点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识点，此题设计了三角形全等的证明，二次函数的性质，函数最值的求解，难度较大，希望同学们仔细思考．