Question

（1）把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F． 

求证：AF⊥BE．  

（2）把两个含有30°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．问AF与BE是否垂直？并说明理由．  

Answer 1

（1）证明：方法一：在△ACD和△BCE中，

AC＝BC，

∠DCA＝∠ECB＝90°，

DC＝EC， 

∴ △ACD≌△BCE（SAS）．

∴ ∠DAC＝∠EBC．

    ∵ ∠ADC＝∠BDF， 

    ∴ ∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．

    ∴ ∠BFD=90°． 

∴ AF⊥BE．   

方法二：∵ AC＝BC，DC＝EC，

∴ ．即tan∠DAC＝tan∠EBC．  

∴ ∠DAC＝∠EBC．（下略）

（2）

AF⊥BE． 

∵ ∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴ ＝tan60°． 

∴ △DCA∽△ECB． 

∴ ∠DAC＝∠EBC． 

∵ ∠ADC＝∠BDF，

∴ ∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°． 

∴ ∠BFD=90°． 

∴ AF⊥BE．