题目内容
26、把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在AC上，连接AE、BD，试判断AE与BD的关系，并说明理由．分析：可通过全等三角形将相等的角进行转换来得出结论．本题中我们可通过证明三角形BEC和ACD全等得出∠FAD=∠CBD，根据∠CBD+∠CDB=90°，而∠ADF=∠BDC，因此可得出∠AFD=90°，进而得出结论．那么证明三角形AED和ACD就是解题的关键，两直角三角形中，EC=CD，AC=BC，两直角边对应相等，因此两三角形全等．
解答：
证明：BF⊥AE，理由如下：
由题意可知∠DEC=∠EDC=45°，∠CAB=∠CBA=45°，
∴EC=DC，BC=BC，又∠DCE=∠DCB=90°，
∴△ECD和△BCA都是等腰Rt△，
∴EC=DC，AC=BC，∠ECD=∠BCA=90°．
在△AEC和△BDC中
EC=DC，∠ECA=∠DCB，AC=BC，
∴△AEC≌△BDC（SAS）．
∴∠EAC=∠DBC．
∵∠DBC+∠CDB=90°，∠FDA=∠CDB，
∴∠EAC+∠FDA=90°．
∴∠AFD=90°，即AF⊥BE．
证明：BF⊥AE，理由如下：
由题意可知∠DEC=∠EDC=45°，∠CAB=∠CBA=45°，
∴EC=DC，BC=BC，又∠DCE=∠DCB=90°，
∴△ECD和△BCA都是等腰Rt△，
∴EC=DC，AC=BC，∠ECD=∠BCA=90°．
在△AEC和△BDC中
EC=DC，∠ECA=∠DCB，AC=BC，
∴△AEC≌△BDC（SAS）．
∴∠EAC=∠DBC．
∵∠DBC+∠CDB=90°，∠FDA=∠CDB，
∴∠EAC+∠FDA=90°．
∴∠AFD=90°，即AF⊥BE．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题首先要大致判断出两者的关系，然后通过全等三角形来将相等的角进行适当的转换，从而得出所要得出的角的度数．
练习册系列答案
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22、把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．
D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．问AF与BE是否垂直？并说明理由．
把两个含有45°角的直角三角板如图放置，D在BC点上，连接BD、AD，AD的延长线交BE于点F，求证：AF⊥BE．