Question

（1）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．求证：AF⊥BE．
（2）把两个含有30°角的直角三角板如图2放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．问AF与BE是否垂直？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）图1，图2是两组不同类别的直角三角形，图1可考虑证明△ACD≌△BCE，利用对应角相等推出互余关系，证明垂直．
（2）图2可考虑证明相似三角形，同样有对应角相等，利用相等角推出互余关系，证明垂直．

解答：（1）证明：在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠DCA=∠ECB=90°，DC=EC
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠DAC=∠EBC
∵∠ADC=∠BDF
∴∠EBC+∠BDF=∠DAC+∠ADC=90°
∴∠BFD=90°
∴AF⊥BE．

（2）解：AF⊥BE．理由如下：
∵∠ABC=∠DEC=30°，∠ACB=∠DCE=90°
∴

BC

AC

=

EC

DC

=tan60°
∴

BC

EC

=

AC

DC

，
∴△DCA∽△ECB
∴∠DAC=∠EBC
∵∠ADC=∠BDF
∴∠EBC+∠BDF=∠DAC+∠ADC=90°
∴∠BFD=90°
∴AF⊥BE．

点评：运用全等三角形，相似三角形同样都可以得出角相等的条件，互余关系是证明垂线的重要途径．