Question

如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.

(1)P是上一点(不与C、D重合),试判断∠CPD与∠COB的大小关系, 并说明理由.

(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合时),∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.

 

Answer 1

【答案】

(1)相等；（2）∠CP′D+∠COB=180°

【解析】

试题分析：(1)连接OD,根据垂径定理可得∠COB=∠DOB，再结合圆周角定理即可得到结果；

(2)连接P′P,则可得∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.即可得∠P′CD+∠P′DC=∠CPD，从而可以得到结果.

从而∠CP′D+∠COB=180°.

(1)连接OD,

∵AB⊥CD,AB是直径,

∴,

∴∠COB= ∠DOB.

∵∠COD=2∠P,

∴∠COB=∠P,即∠COB=∠CPD.

(2)连接P′P,

则∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.

∴∠P′CD+∠P′DC=∠P′PD+∠P′PC=∠CPD.

∴∠CP′D=180°-(∠P′CD+∠P′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB, 

从而∠CP′D+∠COB=180°.

考点：垂径定理，圆周角定理

点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.